Bu yazının esas odak noktası, Dirac’ın 1928’deki bir makalesinde sunduğu ve kitabının son bölümünde yer verdiği Dirac denklemi adıyla bilinen teorisidir. Bu denklem, Einstein tarafından 1905’te ortaya atılan özel görelilik teorisi ile standart göreli olmayan kuantum mekaniğini (Schrödinger denklemi) tutarlı şekilde bir araya getiren denklemdir.
Prof. Dr. Tekin Dereli
Koç Üniversitesi Öğretim Üyesi
Kuantum mekaniğinin keşfi ve tarihsel arka planı
Kuantum mekaniğinin başlangıcı bundan tam 100 yıl öncesine, 1925’te; Max Born, Werner Heisenberg ve Pascual Jordan’ın Göttingen Üniversitesinde matris mekaniği üzerine yayınladıkları ilk makaleyle tarihlenmektedir. Hemen ardından, 1926’da o sıralarda Zürih Üniversitesinde bulunan Erwin Schrödinger, kendi adıyla bilinen dalga denklemiyle karakterize edilen dalga mekaniğini keşfetmiştir. Aradan çok geçmeden 1927’de Cambridge Üniversitesinde doktorasını tamamlamakta bulunan Paul Dirac; kuantum mekaniğinin soyut bir formülasyonunu, kompleks projektif Hilbert uzaylarında Hermite-sel operatörlerin spektral teorisi cinsinden vermiştir. Böylece matris mekaniği ile dalga mekaniğinin eşdeğerliliği de kanıtlanmış oldu. Bu üç makale, kuantum mekaniğinin başlangıcı kabul edilmektedir.
Bu gelişmelerin öncülerinden Heisenberg, Schrödinger ve Dirac 1933 Nobel Fizik Ödülü’nü kazanarak onurlandırılmışlardır. Kuantum mekaniği üstüne yazılan ilk kitap olan Dirac’ın “Principles of Quantum Mechanics” adlı kitabı 1930’da yayınlandı ve bu kitap hâlen ders kitaplarımızın temelini oluşturmaktadır.
Dirac denklemi: Kökeni ve önemi
Bu yazının esas odak noktası, Dirac’ın 1928’deki bir makalesinde sunduğu ve kitabının son bölümünde yer verdiği Dirac denklemi adıyla bilinen teorisidir. Bu denklem, Einstein tarafından 1905’te ortaya atılan özelgörelilik teorisi ile standart göreli olmayan kuantum mekaniğini(Schrödinger denklemi) tutarlı şekilde bir araya getirendenklemdir.
Schrödinger denkleminin Lorentz dönüşümleri altında kovaryant olmadığı, yani Einstein’ın özel görelilik teorisiyle uyumlu olmadığı açıktır. Bunun temel bir nedeni, Schrödinger denkleminde dalga fonksiyonunun zaman türevinin birinci dereceden, uzay türevlerinin ise Laplace operatörü içinde ikinci dereceden olmasıdır. Ancak Dirac’ın akıl yürütmesine göre Lorentz kovaryansının sağlanması için en azından dalga denklemindeki uzay ve zaman türevlerinin aynı dereceden olmaları gerekirdi.
Dirac, relativistik hızlarda hareket eden m kütleli bir taneciğin, örneğin bir elektronun, özel görelilikteki enerji-momentum bağıntısı olan E² = (pc)² + (mc²)² ifadesinden yola çıkarak enerjiyi lineer bir formda E = α·pc + β∙mc² diye yazmaya çalışmıştır. Bu doğrusal ilişkinin sağlanması için alfa (α) ve beta (β) olarak adlandırdığı niceliklerin kareleri alındığında enerji bağıntısının kareli halini vermesi, yani alfaların kendi aralarında çarpımlarının sıra değişince işaret değiştirmesi, alfa ve betalar içeren çapraz terimlerin sıfıra eşit olması ve her bir alfa ile betanın karelerinin birim çıkması gibi koşulları sağlaması gerektiğini bulmuştur.
Bu koşulların sıradan reel veya kompleks sayılarla sağlanamayacağını fark eden Dirac, bu niceliklerin kompleks değerler alan 4×4 matrisler olması gerektiğini öngörmüştür. Bu matrisler, Dirac gama matrisleri (γ^μ) olarak adlandırılır, 16 boyutlu bir Clifford cebirinin üreteçleriolarak tanımlanırlar ve aralarında antikomütasyon bağıntıları sağlarlar.
Bu basit argümanla ulaşılan soyut matematik yapıya burada daha fazla girmeyeceğim. Yalnız bu yaklaşımın fiziksel olarak çok önemli sonuçları bulunuyor. Öncelikle bir relativistik elektron dalga denklemi olarak Dirac denklemini sağlayan dalga fonksiyonu (ψ) artık basit bir kompleks değerli fonksiyon olamaz, dört bileşenli kompleks değerli bir sütun matrisiolmak zorundadır. Buna Dirac spinörü denir.
Dirac denkleminin Lorentz dönüşümleri altında kovaryansı ayrıca gösterilebilir, yani özel görelilikle tam uyumludur. Dirac denklemi fizikteki beklenmedik yeni öngörüleri bakımından en az Einstein denklemleri, Schrödinger denklemi veya Maxwell denklemleri kadar, hatta belki onlardan bile daha önemlidir.
Dirac denkleminin temel öngörüleri
Dirac denkleminin göreli olmayan Heisenberg-Schrödinger kuantum mekaniğinde bulunmayan çok önemli ve beklenmedik niteliklerinden öne çıkanlar şunlardır:
İçsel spin 1/2
Göreli olmayan kuantum mekaniğinde elektron spininin (ħ/2) değeri, teoriye Pauli dışarlama ilkesi adı altında atom spektrumlarındaki yarılmaları açıklamak için sonradan elle fenomenolojik olarak eklenirken Dirac denkleminde spin ħ/2 değeri, denklemin yapısı gereği, zorunlu olarak ortaya çıkar. Bu, denklemin kendisinin parçacığın spinine dair bir öngörüde bulunması açısından önemlidir.
Eksi enerjili çözümler ve anti-parçacıklar
Duran serbest bir tanecik için Dirac denkleminin çözümleri incelendiğinde artı (pozitif) enerjili çözümlerinin (durgun kütle enerjisi, mc²) yanı sıra, eksi (negatif) enerjili çözümlerinin de (durgun kütle enerjisi, -mc²) kaçınılmaz olarak ortaya çıktığı görülmüştür. Bu eksi enerjili çözümler, Dirac’ı başlangıçta zorlamıştır. İlk yorumu, eksi enerjili eksi elektrik yüklü çözümlerin proton (artı yüklü, artı enerjili) olabileceği yönündeydi. Ancak bir elektron ile bir proton arasındaki büyük kütle farkı nedeniyle bu yorum yanlıştı ve eleştiri aldı.
Dirac, 1930’lardaki makalelerinde eksi enerjili eksi elektrik yüklü (elektron) çözümlerinin yük eşleniklerinin artı elektrik yüküne sahip, artı enerjili ve elektron ile aynı kütle sahipyeni bir parçacığı (anti-elektron) tarif etmesi gerektiğini öne sürmüştür. Şimdilerde bu tanecik pozitronolarak adlandırılmaktadır.
Pozitronun varlığı, hemen 1932 yılında kozmik ışınlarda yapılan gözlemlerle doğrulanmıştı. İlginç bir detay olarak, Cambridge Üniversitesinin ünlü Cavendish Laboratuvarında deneycilerin bu tarihten epey önceleri bulut odası izlerinde pozitronları gördükleri ancak bu aykırı izlerin sayıları çok az olduğundan göz ardı edildikleri fark edilmiştir. Bu, bilim tarihinde bir teorik öngörünün nasıl gözlemsel bir keşfe yol açabileceğinin önemli bir örneğidir.
Dirac teorisini asıl önemli kılan anti-parçacık kavramının elektronla sınırlı kalmamasıdır. Dirac denklemi, relativistik rejimdeki tüm spin-1/2 fermiyonlar için geçerlidir. Dolayısıyla protonların anti-protonları, nötronların anti-nötronları, sol-elli nötrinoların sağ-elli anti-nötrinoları gibi tüm temel fermiyonların hepsinin birer anti-fermiyonları bulunmalıdır. Bu temel anti-fermiyonlardan anti-protonlar 1955, anti-nötronlar 1956 senelerinde ilk kez gözlemlenmiştir. Elektrik yüklü ağır bozonlar (spin-1) için de yük eşlenikleri tanımlanabilir. Bu, bizleri doğada bilinen her temel parçacığın bir anti-parçacığı bulunmalıdır varsayımına götürmektedir. Ancak gözlenen evrenin büyük ölçüde maddeden oluşması, anti-maddenin günümüzde neden bu kadar az bulunduğu sorusunu ortaya çıkarmıştır. Bu soru halen cevabı aranan önemli bir doğa bilmecesi olarak yanıtsız durmaktadır.
Kuantum vakum kavramı ve uygulamaları
Dirac, eksi enerjili çözümleri yorumlamak için bir ara adım olarak kuantum vakum durumu kavramını geliştirmişti. Klasik boşluk kavramından farklı olarak kuantum vakumu, tüm eksi enerjili düzeylerin elektronlarla dolu olduğu, tüm artı enerjili düzeylerin ise boş kaldığı kuantumlu sıfır-enerji düzeyiolarak tanımlanır (Dirac vakumu).
Çift yaratımı ve yok olumu süreçleri
Dirac vakumu yorumuna göre, artı enerjili bir elektron elde etmek için, eksi enerji denizinden bir elektronu artı enerji düzeyine uyarmak yeterlidir. Bu süreç, en az 2mc² enerjisine sahip bir (uyaran) fotonun soğurulmasını gerektirir. Bu sürece (boşluktan) çift yaratımı süreci (foton → elektron + pozitron) adını verebiliriz. Eksi enerji düzeyinden koparılan elektrondan geride kalan boşluk (deşik), artı elektrik yüklü, artı enerjili bir parçacık gibi davranmaktadır ve bu Dirac’ın pozitron yorumudur. Bu sürecin tersi, yani bir elektron ile bir pozitron çarpıştıklarında yok olarak foton yayılmasıdır ki bu süreci de çift yok olumu süreci (elektron + pozitron → foton) diye adlandırıyoruz.
Çift yaratımı ve çift yok olumu, elektron-pozitron ve foton alanlarının minimal etkileştiği Kuantum Elektrodinamiği (QED) teorisinin asal etkileşim süreçleridir. QED, kuantum mekaniğinin aksine parçacıkların yok olabildiği veya boşluktan çıkıp var olabildiği, bir kuantum alanlar teorisine tutarlı olduğu kanıtlanmış ilk örnektir. Toplam parçacık sayılarının korunmadığı QED gibi bir kuantum alanlar teorisindeki süreçlere kimi zaman “ikinci kuantumlanmış” denmektedir. Bu niteliğiyle parçacık sayısının korunduğu göreli olmayan kuantum mekaniğinden (birinci kuantumlanmış) temelde farklıdır.
Yoğun madde fiziğindeki uygulamalar (Elektron-deşik kavramı)
Dirac’ın vakum yorumundan türeyen elektron-deşik çifti kavramı, yarı iletken malzemelerdeki elektrik yük taşıyıcılarınımodellemek için temel oluşturmuştur. Yarı iletken kristallerdeki elektron enerji band yapısı düşünüldüğünde N-tipi yarı iletkenlerde yük taşıyıcıları elektronlar, P-tipi yarı iletkenlerde ise elektron “çalınması” sonucu oluşan boşluklar (deşikler) artı elektrikli yük taşıyıcıları gibi davranır. Bu kavram, transistörlerin keşfinin ve mikroelektronik uygulamalarının temelini oluşturur. Ancak bu ve benzeri yoğun madde uygulamalarında yaklaşımın rölativistik olmadığına dikkat edilmelidir.
Kuantum vakumun gözlenebilir etkileri
Kuantum vakumun fiziksel gerçekliğini kanıtlayan bazı etkiler laboratuvarlarda gözlemlenmektedir.
Vakum polarizasyonu
Bir kuantum alanlar teorisinin vakum durumu, sanal parçacık-anti-parçacık çiftlerinin sürekli var olup yok oldukları “köpük” gibi bir sürekli ortam olarak yorumlanabilir. Bu yoruma göre Dirac vakumu bir dış elektromanyetik alan tarafından polarize edilebilir.
Casimir etkisi
Vakum polarizasyonunun bir sonucudur. Elektriksel olarak nötr iki paralel iletken levha arasındaki Dirac vakumunda devamlı yaratılıp yok olmakta bulunan sanal parçacıkların dağılımları sınırlardaki iletken levhalar üzerinde değiştiği için, levhalar arasında dışarıdaki vakum enerjisinden farklı bir enerji yoğunluğu oluşur ve bu levhalar arasındaki çekici bir kuvvetin nedenidir.
Bu etki Philips Laboratuvar’ında Hendrik Casimir tarafından 1947’de teorik olarak öngörülmüş ve bu çok küçük etkinin varlığı ilk kez 1948’de deneysel olarak kanıtlanmıştır. Casimir etkisinin gerçekten hassas bir ölçümüyse ancak 1997’de mümkün olmuştur. Bu etki, kuantum vakum kavramının gözlemlenebilir bir sonucudur.
Higgs mekanizması
Standart Elektrozayıf Etkileşmeler Teorisinde, temel parçacıklar (fermiyonlar ve vektör bozonları) kütlelerini, karmaşık bir kuantum vakum durumunun temsili olan Higgs alanları ile etkileşerek kazanırlar. Bu sonuç, elektrozayıf simetrinin kendiliğinden bozulması ile ilişkilidir. Fotonun kütlesiz kalması geride gözlemlenebilecek tek bir reel skaler Higgs bozonunun varlığını gerektirir. Higgs bozonunun varlığının kesin kanıtı ancak 2012 yılında CERN’de LHC’deki proton-anti-proton çarpıştırma deneylerinde bulunmuş ve kütlesi 125 GeV olarak ölçülmüştür. Bu da kuantum vakumun kütle kazanımındaki rolünü teyit eden bir başka gözlemlenebilir etkidir.
Anti-madde uygulamaları ve gelecek beklentileri
Anti-madde kavramı, yakın gelecekteki potansiyel teknolojiler için ilginç olasılıklar sunmaktadır.
Anti-hidrojen üretimi ve saklanması
Aşikardır ki bir anti-proton ile bir pozitronun oluşturduğu anti-atomun yani anti-hidrojenin varlığı öngörülebilir. Pozitronlar radyoaktif bozunumlardan (ters beta saçılması) veya hızlandırıcılardan elde edilebilir. Anti-protonlar ise CERN, Fermilab vb. büyük parçacık hızlandırıcılarında çarpışmalarda üretilir. Bir kez anti-madde üretilirse anti-maddeyi maddeyle temas etmeden uzun süre saklamak çok zordur çünkü temas halinde madde ile anti-madde birbirlerini yok ederler.
CERN’deki deneylerde (ATRAP, ATHENA, ALFA), anti-hidrojen atomları üretilip manyetik tuzaklarda (Penning tuzakları/manyetik şişeler) biriktirilmekte ve saklanabilmektedir. Üretilen anti-hidrojen sayısı hala çok az (yüzler mertebesinde) olsa da saklama süreleri saniyelere hatta 1000 saniyeye kadar uzatılabilmiştir.
Anti-maddeyle yerçekimi deneyleri
Anti-hidrojenin yerçekimi alanındaki davranışı merak konusudur; teorik olarak madde gibi düşmesi beklenir, anti-gravitasyon etkisi beklenmez. Ama gerçekten gözlemlemeden bilemeyiz. Nitekim CERN’deki ALPHA iş birliği, %20 hassasiyetle anti-hidrojenin yerçekimine maddenin verdiği tepkinin aynısını verdiğini göstermiştir. Deneyler bu hassasiyeti artırmak için devam etmektedir.
Anti-maddeyle roket itkisi (Antimatter propulsion)
Parçacık-anti-parçacık çift yok olumundan açığa çıkacak yüksek enerjiyi roket itkisi için kullanma fikri epey bir zamandır mevcuttu. Özellikle proton-anti-proton yok olumu, elektron-pozitron yok olumundan çok daha fazla enerji açığa çıkarır (~1.88 GeV). Bu enerjinin bir kısmı (%16 kadarı) itki sağlayacak fotonlara dönüştürülebilir.
Önerilen fikirlerden biri, nano boyutta bir yelkeni radyoaktif bir maddeyle kaplayıp üzerine anti-proton huzmesi yollayarak proton-antiproton yok olumu kanalıyla itki elde etmektir. Bu, mevcut roketlere göre çok daha yüksek, ışık hızına yakın hızlara ulaşma potansiyeli sunar. Ancak bunun için gereken anti-madde miktarı birkaç gram mertebesinde olup bugün mevcut üretim kapasitesinin çok üzerindedir. Halen toplam anti-hidrojen üretim kapasitesi birkaç miligram kadardır. Ayrıca, roketin kendi üzerinde küçük bir anti-proton kaynağı ile bir depolama sistemi taşınması gibi büyük mühendislik zorlukları vardır. Bunlar şu an için fantezi gibi gözükebilen ancak kuantum mekaniğinin bizlere açtığı fırsatları dile getiren fikirlerdir.
Fizik eğitimi, yapay zekâ ve bilimsel keşif üzerine yorumlar
Türkiye’deki fizik eğitiminin durumu
Türkiye’deki bilim camiası olarak niceliksel göstergelere (makale sayısı, atıf sayısı vb.) aşırı odaklandık, fakat temel kavramlar ve bunların eğitimi ciddi biçimde ihmal ediliyor. Kuantum mekaniği, özel ve genel rölativite gibi ileri fizik dersleri yeterince ayrıntılı yapılmıyor. Özellikle mühendislik öğrencilerine bu konular etkili anlatılamıyor. Dirac denklemi, spinörler, eğri uzay-zamanlar gibi kritik ileri konuların ne matematiğinin ne de fiziğinin üniversitelerimizde artık hiç öğretilmediği noktadayız. Fizik bölümlerinin ihmal edilmesi ve tümden kapanma noktasına gelmeleri gelecek için endişe vericidir.
Yapay zekânın bilimsel keşifteki rolü
Son birkaç yıldır yapay zekânın (AI) bilimsel keşifteki rolü çok tartışılmaktadır. Kanımca yapay zekâ veri işlemede ve büyük mikyasta veri içerisinden desen bulmada başarılıdır ama yeni teorik modeller oluşturma veya yeni kavramlar keşfetme kapasitesi bakımından gelişmeler bence henüz net değil. Dirac’ın akıl yürüterek anti-maddenin varlığını nasıl öngördüğünü kısaca özetledim. Acaba o dönem yapay zekâ olanakları bulunsaydı, aynı şartlarda salt veri işleyerek bu keşif yapılabilir miydi? Burada keşif (doğada var olanı anlama) ile icat (keşifleri uygulama) arasındaki farka dikkat etmeliyiz. Temel bilimler daha çok keşif, mühendislik ise genellikle icat üzerine kurguludur. Keşfedilenlerin ne işe yarayacakları zaman içinde ancak uygulayıcıların yaratıcılığıyla ortaya çıkıyor.
Geçtiğimiz dönem son sınıf mühendislik öğrencilerine açtığım Uygulamalı Kuantum Fiziği dersinde farklı bir yaklaşım denedim. Başlangıçta bir süre basit kuantum fiziği konularını anlattıktan sonra genel bir sınav verdim. Akabinde öğrencilerimin bir uygulamalı konu seçerek proje raporu hazırlamalarını istedim. Yeni olan dönem ödevlerini hazırlarken ChatGPT kullanımının serbest olması, hatta mutlaka yararlanmalarının gerekliliğiydi.
Öğrencilerime önerdiğim proje konuları üzerinden günlük hayatta karşılaşılan bazı kuantum/ modern fizik uygulamalarına örnekler verdik: Transmisyon elektron mikroskopisi, taramalı tünel mikroskopisi, bilgisayarlı tomografiler (MR, PET, X-ray CT), LED’ler, LCD ekranlar, CCD kameralar, fiber optik iletişim, serbest uzay optik iletişimi, optik transistörler, Lityum-iyon bataryaları. Bu konuların kuantum fiziksel temelini anlamak kolay değildir. Bu kapsamda AI kullanımı bir araç olarak gayet kullanışlıdır ancak “prompt engineering” gibi yeni disiplinlerin ortaya çıkışı bile AI kullanımının ne denli karmaşıklaştığına işaret etmektedir. ChatGPT yardımıyla özenle hazırladıkları proje raporlarını aldıktan sonra öğrencilerimden final yerine 10 dakikalık birer sunum yapmalarını istedim. Sunumlar da ChatGPT ile gayet göz alıcı hazırlanmıştı. Ancak sunumlar sırasında sorduğum sorulara verilen yanıtlar son notları belirleyici oldu ve genelde o kadar yüksek olmadı. AI ile eğitimde daha alınacak yolumuz var. Hep beraber öğrenmekteyiz.
Prof. Dr. Tekin Dereli
Ankara Fen Lisesi’nin ilk mezunlarından olup lisans ve doktora derecelerini ODTÜ Fizik Bölümünden almıştır. Akademik kariyeri boyunca ODTÜ’de öğretim üyeliği yapmış, bunun yanı sıra uzun süreli görevlendirmelerle yurt dışında Yale, Brandeis, Viyana ve Lancaster gibi üniversitelerde araştırmalar yürütmüştür. Ayrıca Alexander von Humboldt Vakfı bursuyla Almanya’da Karlsruhe Üniversitesinde ve İtalya-Trieste’deki Uluslararası Teorik Fizik Merkezinde asosiye üye sıfatıyla misafir profesör olarak bulunmuştur. TÜBİTAK Bilim Ödülü, Prof. Dr. Mustafa Parlar Vakfı Bilim Ödülü ve Sedat Simavi Vakfı Fen Bilimleri Ödülü gibi ülkemizde verilen tüm prestijli ödüllere sahip olan Tekin Dereli, 1994 yılında TÜBA üyeliğine seçilmiş ve TÜBA konseyinde görev almıştır. Kendisi 2001-2021 yılları arasında Koç Üniversitesinde Fizik Profesörü olarak ders vermiş, Fen ve Mühendislik Bilimleri Enstitüsü direktörlüğünü yapmıştır. Kuantum mekaniği ve relativistik gravitasyon teorileri üzerine 200’ün üzerinde bilimsel makalesi bulunmaktadır. Bu yazı, 2025’in Uluslararası Kuantum Fiziği ve Teknolojileri Yılı olması bağlamında kuantum mekaniğinden gelecekte nelerin beklenebileceği üzerine odaklanmıştır.
