İkinci kuantum devrimi ve gelecek

Sayı üreteçleri, kuantum bilgisayarlar, kuantum internet, kuantum şifreleme algoritmaları ne vadediyor?

Giriş

Fizikçe®’nin bu sayısında “İkinci Kuantum Devrimi”ne değindik ve bununla beraber gelen teknolojilere kısaca yer verdik. Yazımıza “İkinci Kuantum Devrimi”nin ne olduğuyla başlıyoruz. Devamında, kuantum bilgisayarlardan, kuantum üstünlüğe (en: quantum supremacy), kuantum şifrelemeden, ve kuantum internete değiniyoruz.

İkinci kuantum devrimi nedir?

İkinci kuantum devriminden önce birinci kuantum devrimi nedir ona bir bakmak lazım. Birinci kuantum devrimi, yaklaşık 100 sene önce kuantum mekaniğinin keşfi ve bu keşif kullanılarak elde edilen teknolojik gelişmeleri kapsıyor. Bunlara örnek olarak lazerler, transistörler, diyotlar, LED’ler gibi teknolojik cihazlar verilebilir. Bu teknolojik gelişmeler sayesinde kişisel bilgisayarlarımız, akıllı telefonlarımız vb. bilgi almak/işlemek gibi işlemleri–çok küçük boyutlara sahip olarak–yapabiliyorlar. Bir anlamda birinci kuantum devrimi, modernizasyon sürecinde çok önemli bir faktör olmuştur.

“İkinci kuantum devrimi” terimi Dowling ve Milburn tarafından 2003 yılında yayınlanan (İleri okuma ve kaynakça kısmında makale bilgilerini bulabilirsiniz) bir makalede ileri sürüldü ve o yıl için bu tür bir “ikinci kuantum devrimi”nin ortasında olunduğu ifade edildi.

İkinci kuantum devrimi maddenin ya da ışığın kuantum yapısını çok daha iyi manipüle edebildiğimiz teknolojik gelişmeleri kapsıyor. Bunlara örnek olarak rastgele sayı üreteçleri, kuantum bilgisayarlar, kuantum internet, güvenliği (bilinen) fizik kanunlarınca garanti altında olan kuantum şifreleme algoritmaları verilebilir. Bunlardan ileriki bölümlerde bahsedeceğiz.

Rastgele sayı üreteçleri

Günümüzde kullandığımız dijital bilgisayarlar rastgele sayı üretmek için bilgisayarın saatini, fare ya da klavye hareketi gibi çeşitli bilgileri kullanarak yalancı (en: pseudo), rastgele sayı üretebilirler. Rastgele sayı üreteçlerinin kalitesi ve hızı, optimizasyon, güvenlik gibi uygulamalar açısından önem arz etmektedir. Kuantum rastgele sayı üreteçleri ise kuantum mekaniğinin içsel olarak olasılıksal olmasını kullanırlar. Bu açıdan daha kaliteli rastgele sayılar üretebilme kapasitesine sahiptirler. Kuantum mekaniğinin içsel olasılıksallığına biraz değinelim.

Kuantum mekaniğinin ölçüm süreci tamamen olasılıksaldır ve bu olasılıksallık bizim bilgi eksikliğimizden değil, fiziğin kuantum düzeyde içsel olarak olasılıksal olmasından kaynaklanır. Bilgi eksikliğinden kaynaklanan olasılıksal durum bir madeni paranın yazı-tura atılması sürecidir. Klasik fizik kanunlarına göre, eğer yazı-tura atılan paranın başlangıç konumu, başlangıç hızı ve yönelimi gibi bilgilere sahip olduğumuz zaman %100 olasılıkla paranın yazı mı yoksa tura mı geleceğini bilebiliriz. Dolayısıyla buradaki olasılıksal durum, bilgi eksikliğinden kaynaklanmaktadır.

Kuantum dünyadaki olasılık ise fiziksel ve içsel bir durumdur. Mesela bir elektronun iki spin halinin dengeli (her terimin katsayılarının büyüklükleri aynı olan durum) süperpozisyonunda gözlem yaptığımız zaman %50 ihtimalle bir seçeneğin (yukarı spin), %50 ihtimalle ise de diğer seçeneğin (aşağı spin) gerçekleştiğini bulabiliriz (tıpkı hilesiz bir parayla yazı-tura atmak gibi.) Fakat yeni bir gözlem yapacağımız zaman, gözlem sonucunun hangi yönde olacağı için ancak yarı-yarıya bir ihtimal verebiliriz. Aynı sistemi ne kadar defa gözlerseniz gözlemleyin, yeni bir sistemi ölçtüğünüzde sadece olasılıksal bir tarif elde edersiniz.

Kuantum bilgisayarlar

Bu yazıyı yazdığım ve hepimizin aşina olduğu, bilgisayar denilince akla ilk gelen bilgisayar dijital bilgisayarlardır. Dijital bilgisayar bitler üzerinde işlemler yaparak hesaplamaları gerçekleştirirler. Bit denilen soyut yapı 0 (sıfır) ya da 1 (bir) olabilir. Bit şu açıdan soyuttur, çünkü bitin fiziksel manada neyden yapıldığı önemli değildir. Önemli olan birbirlerinden farklı iki farklı değer alabilmesidir. Bir biti mesela şu iki farklı şekilde yorumlayabiliriz: 1) kablo üzerinde voltaj varsa 1, yoksa 0, 2) bir bardak doluysa 1, boşsa 0 gibi. Dijital bilgisayarlar bitler üzerinde çeşitli mantıksal işlemler yaparak bilgisayarın yapmaya programlandığı işi (mesela çalıştırdığınız bir program gibi) yaparlar.

Bit yerine kubitler

Şimdiyse gelelim kuantum bilgisayarlara. Kuantum bilgisayarlar kubit (“kuantum bit” ifadesinin kısaltması, en: qubit) adı verilen birimler üzerinde işlem yaparlar. Daha önce bahsettiğimiz dijital bilgisayarlarda bir bit, 0 ya da 1 değerini alabilirken; bir kuantum bit bunların lineer kombinasyonlarından oluşabilir. Bir kubit için iki tane temel vektör vardır: bunlardan birincisi |0> (sıfır bitine karşılık gelen kubit olarak düşünebilirsiniz) ve ikincisi |1>’dir (bir bitine karşılık gelen kubit olarak düşünebilirsiniz). Bir bitin en fazla alabileceği değer sayısı iki iken, bir kubitin alabileceği değer sayısı sonsuzdur! Bir kubit |0> ve |1> temel kubitlerinin lineer kombinasyonlarından oluşabilir. Teknik olarak belirtmek gerekirse katsayılar karmaşık sayılardır, fakat genel manada bir kubiti Şekil 3’deki gibi iki vektörün toplanması olarak görebilirsiniz. Bir vektör ise yönlü doğru parçası olarak düşünülebilir.

Eğer birden fazla kubit düşünülürse, klasik fizikte olmayan, kökeni tamamen kuantum mekaniği yasalarına dayanan dolanıklık (en: entanglement) adı verilen bir fenomen karşımıza çıkar. Dolanıklık kavramı pek çok popüler fizik yazısında geçer ve en azından bir kez duymuş olma ihtimaliniz hayli yüksektir diye düşünüyorum. Fakat burada kabaca özetleyeyim: kuantum dolanıklık iki farklı kuantum sistem arasında mevcut olan ilişkidir denebilir. Bu ilişki ise parçalarda mevcut değildir, parçaların toplamında mevcuttur. Yani diğer bir tabirle: bütün, parçaların toplamından daha fazlası olabilir. Olabilir ifadesini kullandım, çünkü aralarında kuantum dolanıklık olmayan iki kuantum sistem parçaların toplamıdır. Dolanıklıktan şu anlamda söz açtım ki kuantum dolanıklık kuantum bilgisayarlar tarafından bir kaynak (en: resource) olarak kullanılabilmektedir. Örnek vermek gerekirse kuantum ışınlama (en: quantum teleportation) algoritmalarında kuantum dolanıklıktan istifade edilmektedir. Dolanıklıkla ilgili pek çok kaynak bulabilirsiniz. İlgiliyseniz, özellikle “Bell Eşitsizlikleri” konu başlığını araştırmanızı tavsiye edebilirim.

Günümüzdeki mevcut kuantum bilgisayarlar

Günümüzde kuantum bilgisayar üreten belli bazı şirketler vardır. Bunlara örnek olarak D-Wave, IBM, Rigetti, Google, Microsoft, SpinQ şirketlerini verebiliriz. SpinQ firmasının 2 qubitlik taşınabilir kuantum bilgisayarları (Gemini-Mini, 14 kg. ve yaklaşık olarak boyutları 30 cm civarında) hali hazırda satışta. Kuantum bilgisayarlar bit yerine kubitlerle işlem yaptıklarından dolayı, onları programlamak için daha farklı bir dil kullanmak gerekir: kuantum programlama dilleri. Bunlar Qiskit (IBM’in Python kütüphanesi), Cirq (Google’ın Python kütüphanesi) ve Q# (Microsoft’un) olarak örneklendirilebilir.

Hata düzeltme

Hata düzeltme (en: error correction) konusu kuantum mekaniğinde basit bir konu değildir. Bunun da başlıca sebebi kuantum mekaniği yasalarında herhangi bir mesajın birebir kopyasını oluşturamamamızdan kaynaklanmaktadır. Buna fizik tabiriyle klonlama-yasağı teoremi denir (en: no-cloning theorem). Bu şu açıdan önemlidir. Klasik dünyada (yani bizim günlük yaşamımızı geçirdiğimiz ölçekte) bir mesaj göndermek istiyorsanız, fakat mesajı gönderdiğiniz kanalda gürültü varsa (yani iletilen mesajda hata olabiliyorsa) şu şekilde bir yöntem izleyebilirsiniz. Yazınızı tek bir sayı, mesela 3 defa, art arda gönderirsiniz. Mesajı alan kişi gelen 3 mesajı karşılaştırır. Hangi harf daha çok tekrar etmişse, o harf geldi gibi kabul eder. En nihayetinde iletişim kanalınızda gürültü olsa bile mesaj doğru bir şekilde iletilir.

Örnek olarak şu mesajı düşünelim: “KUANTUM”. Siz bu mesajı üç kez gönderiyorsunuz ve mesajlar şu şekilde ulaşıyor karşı tarafa: “KUANTUM”, “QUANTUM”, “KUANTUM”. Bu üç mesajı karşılaştırdığımızda ilk harf iki defa “K” bir defa da “Q” olarak okunuyor. Dolayısıyla ilk harfin “K” olduğuna hükmediyorsunuz. Diğer harfler zaten bozulmadan iletiliyor. Onları da olduğu gibi kabul ediyorsunuz. En nihayetinde mesajın “QUANTUM” değil “KUANTUM” olduğunu buluyorsunuz. Mesajın kopyasını ne kadar fazla gönderirseniz, hatalı iletim olasılığı o derece azalır.

Fakat bahsettiğimiz klonlama-yasağı teoremi, bizim kuantum mekaniğinde bunu uygulamamızın önüne geçiyor. Fakat elbette, kuantum bilgi için de, hata düzeltme algoritmaları mevcut. Bu konuya daha sonraki bir yazımızda değineceğiz.

Kuantum üstünlük

Günümüzde kullandığımız dijital bilgisayarlar hesaplanabilecek herşeyi hesaplayabilirler. Bu çok zaman alabilir ama teorik olarak mümkündür. Bu durumun bilimsel ifadesi, dijital bilgisayarların Turing complete olmasıdır (Türkçe’de belki Turing tam denilebilir). Öte yandan kuantum bilgisayarlar da Turing complete’tir. Dolayısıyla kuantum bilgisayarda hesaplayabileceğimiz, fakat dijital bilgisayarda hesap edemeyeceğimiz birşey yoktur. Peki öyleyse neden kuantum bilgisayarlar bu kadar dikkat çekiyor? Bunun sebebi, bazı problemlerin çözümünde kuantum bilgisayarların çok hızlı sonuç vermesidir. Buna da kuantum üstünlük (en: quantum supremacy) adını veriyoruz. Bu tarz bir probleme örnek olarak büyük bir sayının asal çarpanlarının (asal sayı: 1’e ve kendisi dışında başka sayıya bölünemeyen sayı. Örnek: 2,3,5,7…) bulunması problemi ve buna yönelik olarak geliştirilen Shor algoritması verilebilir. Bu örnekten ileride bahsedeceğiz.

Kısaca, kuantum bilgisayarların şifreleme, kuantum sistemlerin modellenmesi (mesela kimya) ve makine öğrenmesi gibi alanlarda üstünlük göstermesi bekleniyor.

Shor algoritması ve kuantum şifreleme

Bu bölümde kısaca Shor algoritmasından ve kuantum şifrelemeden bahsedeceğiz.

Shor algoritması

Modern şifreleme algoritmaları (örneğin RSA algoritması), çok büyük sayıların asal çarpanlarının bulunmasının pratikte imkânsız olduğu önkabulüne dayanır. Kuantum bilgisayarların kredi kartı bilgilerimizin, banka hesaplarımızın güvenliği gibi çok duygusal konularda bir tehlike arz etmesinin arkasında yatan temel sebep Shor algoritmasıdır. Çünkü Shor algoritması kuantum bilgisayarlar üzerinde çalıştırıldığı zaman büyük sayıların asal çarpanlarını çok kısa sürede bulabilir. Kısa süreden kastımız şu ki Shor algoritması dijital bilgisayarlardan üstel zaman alacak bir problemi kuantum bilgisayarlarda polinomyel zaman alacak şekilde çözer.

Kuantum şifreleme

Klasik şifreleme algoritmalarının kuantum bilgisayarlar sayesinde çok kısa sürede kırılabileceğinden bahsettik. Kuantum şifreleme ise kuantum mekaniği yasalarınca kırılamayacak şifreleme algoritmaları oluşturmak için bir çalışma sahasıdır. Kuantum şifrelerin kırılamayacağının garantisi bizzat kuantum mekaniği fizik yasasının kendisidir. Kuantum anahtar dağıtımı (en: quantum key distribution) algoritması buna örnek olarak gösterilebilir. Daha sonraki bir yazımızda bundan daha detaylıca bahsetmeyi planlıyoruz.

Elbette ki kuantum mekaniği en nihayetinde başka bir teori ile geçilecektir. İnsanlık olarak neredeyse 100 sene önce bulduğumuz bir kuramın fizik için son söz olduğuna inanmak güç. Lafı çok fazla dağıtmak istemem fakat aynısı genel görelilik için de geçerlidir. Dolayısıyla bu iki teori de ileride başka bir kuram ya da kuramlarla aşılacaktır. Fakat kuantum mekaniği yasalarının güvenliğini garanti ettiği şifreleme algoritması bulmak çok mühim bir meseledir.

Kuantum internet

Günümüzde kullandığımız İnternet bitlerin iletimine bağlıdır. Buna benzer bir şekilde ise kuantum İnternet kubitlerin alınması ve gönderilmesini içerir. Kuantum İnternet üzerine çalışmalar çeşitli başarı oranlarında ve çeşitli yöntemlerle yapılmaktadır.

Fotonların (ışık parçacıkları) iki polarizasyon hali vardır. Dolayısıyla fotonlar kubit olarak kullanılabilirler, çünkü bir kubitin de iki hali vardır. Kuantum İnternet üzerine olan çalışmalarda fotonlar sıklıkla kullanılmaktadır. Bir iyon kullanılarak iyondaki kuantum hal ile ondan çıkar foton dolanık olabilmektedirler. Daha sonra fotonu fiber optik kablo (burada kayıplar olabilir) ile başka bir sisteme transfer edip oradaki iyon ile dolanık hale getirilirse, uzak mesafelerdeki iki iyon dolanık hale gelebilmektedirler. Bu şu açıdan önemli, kuantum dolanıklığı kullanarak kubit ışınlamak mümkün hale gelmektedir, ayrıca bir klasik kanal daha kullanılarak.

Şimdi ise Dünya’dan (elbette ki küçük çaplı) kuantum internet denemelerine bir göz atalım [2019 yılı ve öncesindeki örnekler hakkında daha fazla detay için (Ananthaswamy,2019) yazısına bakınız].

• 2015 yılında (Hanson vd.) birbirlerinden 1.3 kilometre uzaklıktaki iki kuantum sistemi (tr: azot boşluğu, en: nitrogen vacancy. Elmasın kristal yapısında bir karbon atomu yerine bir azot atomunun bulunduğu durum) dolanık hale getirebildiler. Bunun için iki kuantum sisteminden yayılan fotonlar iki düğümün ortasında bir mesafede bir dolanıklık takası işlemine (en: entanglement swapping) alındılar. Bu da iki kuantum düğümün birbirleriyle dolanık hale gelmesini sağladı.
• 2017 yılında (Jian-Wei Pan vd.) güney batı Çin ve Tibet platosu arasında Çin’in kuantum uydusu (Micius) kullanılarak kuantum dolanıklık sağlandı. Fakat günümüzde bile uydu interneti çok pahalı. Dolayısıyla günün birinde uydu ile kuantum internetinin ucuzlayacağından şüpheliyim. Fakat bilimsel amaçlar ya da acil durumlar için uydu tabanlı kuantum internetinin bir seçenek olarak kalabileceği kanısındayım.
• 2019 yılının Mayıs ayında (Shi-Ning Zhu vd.) 35 kilogram kütleli bir drone kullanarak yerde birbirlerinden 200 metre uzaklıktaki iki düğüme dolanık fotonlar göndermeyi başardılar.
• 2019 yılında (Lanyon vd.) 50 kilometre küsürlük bir fiber optik kablo ile madde (kalsiyum iyonu) ve ışık arasında dolanıklık yarattılar.
• 2023 yılında (Lanyon vd.) birbirlerinden 230 metre uzaklıktaki iki kalsiyum iyonunu dolanık hale getirmeyi başardılar.

Hollanda merkezli, Delfth Teknoloji Üniversitesi (TU Delfth) ve Hollanda Uygulamalı Bilimsel Araştırma Organizasyonu (TNO) tarafından 2014 yılında kurulan, QuTech, kuantum İnternet için kilometre taşlarını şu şekilde sınıflandırıyor:

1. Dünya’nın dolanıklık tabanlı ilk kuantum interneti: Bu konuda 1.3 kilometre fiberoptik kablo kullanarak birbirlerine bağlı iki kuantum sistem arasında dolanıklık sağlanmış. Ayrıca 3 kuantum işlemciyi birbirlerine bağlayabildikleri birçok (3) düğümlü bir kuantum ağ oluşturulmuş.
2. Kuantum tekrarlayıcıların kullanımı: Eğer tekrarlayıcılar olmazsa, bir kuantum bilgisayardan gönderilen sinyal mesafe ile azalır. Bu sadece bilgisayarlarla ilgili değil, fizik ile ilgili. Mesela zayıf bir mıknatıs 1 santimetre uzaklıktaki bir ataçı çekebilir, fakat örneğin 1 metre uzaklıktaki bir ataçı daha az bir kuvvetle çeker. Dolayısıyla tekrarlayıcılar uzak mesafelerdeki kuantum bilgisayarları birbirine bağlayabilmek için gereklidir.
3. Kuantum ağa bağlı kuantum bilgisayarlar: Bunu kullanarak her bir kuantum işlemci dağıtık bir hesaplama yapabilir ya da daha genel anlamda kuantum bilgisayarların kuantum interneti başarıyla tesis edilmiş olacak.

Kapanış

Fizikçe®’nin bu sayısında ikinci kuantum devriminden ve onun beraberinde getirdiği teknolojiler ve fırsatlardan biraz bahsettik. Özellikle kuantum bilgisayarların üstün olduğu düşünülen alanlarda ileriki yıllarda sarsıcı çalışmalar olacağına inanıyorum. Bu şekilde çözülmesi çok süreler alacak ve pratikte imkânsız olan hesaplar çok daha hızlı bir şekilde yapılacaktır.

Öte yandan, kuantum işlemci üreten firmalar git gide daha kuvvetli işlemciler geliştiriyorlar. Sağlıklı bir kuantum internet ile bu işlemciler birbirlerine bağlanarak günümüzün yüksek başarımlı hesaplama merkezlerinde olduğu gibi kuantum süperbilgisayarlar oluşturulabilir. Öte yandan kuantum işlemcilerin üzerine bina edildiği fiziksel altyapılar da birbirlerinden farklıdır. Şu aşamada kuantum işlemcileri çevrenin etkisinden kurtarmak için soğuk ortamlar kullanılıyor. Umulur ki yoğun madde fiziğinde olacak yeni ilerlemeler, kuantum işlemcilerin çalışma sıcaklıklarının yukarı çekilmesinde işe yarayabilir. Bu da kuantum bilgisayarı çalıştırmak için gerekli soğutucu ekipman giderlerinin azalmasına yarayabilir.

Teşekkür

Şekil 3 ve Şekil 4 Mathematica kullanılarak üretilmiştir.  Şekil 4 için gerekli bilgi IBM Research’ün Flickr’daki CC BY-ND 2.0 lisanslı görselinden (https://flic.kr/p/2nX9Fx1) alınmıştır. Fizikçe® Furkan Semih Dündar’ın markasıdır.

İleri okuma ve kaynakça

• [İkinci Kuantum Devrimi hakkında]
  • Daniel Garisto. “The Second Quantum Revolution.” Symmetry Magazine. https://www.symmetrymagazine.org/article/the-second-quantum-revolution 01/12/22. Erişim tarihi: 9 Şubat 2023
  • NIST. https://www.nist.gov/physics/introduction-new-quantum-revolution/second-quantum-revolution Son versiyon: 5 Nisan 2022. Erişim tarihi: 9 Şubat 2023.
  • Dowling Jonathan P. and Milburn Gerard J. 2003Quantum technology: the second quantum revolutionPhil. Trans. R. Soc. A.3611655–1674
  • http://doi.org/10.1098/rsta.2003.1227
• [Kuantum Rastgele Sayı Üreteçleri]
  • TÜBİTAK Bilgem. https://bilgem.tubitak.gov.tr/tr/urunler/kuantum-rsu-kuantum-tabanli-rasgele-sayi-ureteci Erişim tarihi: 9 Şubat 2023
  • QUSIDE. https://quside.com/quside-unveils-the-worlds-first-randomness-processing-unit/ Erişim tarihi: 9 Şubat 2023
• Amit Hagar ve Michael Cuffaro, “Quantum Computing”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2022 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.), URL: https://plato.stanford.edu/archives/fall2022/entries/qt-quantcomp Erişim tarihi: 16 Ocak 2023
• [Kuantum bilgisayar üreten bazı şirketler ve web siteleri]
  • D-Wave: https://www.dwavesys.com/
  • IBM: https://www.ibm.com/quantum
  • Rigetti: https://www.rigetti.com/
  • Google: https://quantumai.google/
  • Microsoft: https://www.microsoft.com/en-us/research/research-area/quantum-computing/?
  • SpinQ: https://www.spinquanta.com/technicalSpec/geminiMini
• [Bazı kuantum programlama kütüphaneleri ya da dilleri]
  • Qiskit: https://qiskit.org/
  • Cirq: https://quantumai.google/cirq
  • Q#: https://learn.microsoft.com/en-us/azure/quantum/overview-what-is-qsharp-and-qdk#the-quantum-programming-language-q
• [Kuantum İnternet]
  • Anil Ananthaswamy. “The Quantum Internet is Emerging, One Experiment at a Time.” Scientific American. 19 Haziran 2019. Erişim tarihi: 7 Şubat 2023. https://www.scientificamerican.com/article/the-quantum-internet-is-emerging-one-experiment-at-a-time/
  • Marric Stephens. “Trapped Ions go the distance.” 2 Şubat 2023. https://physics.aps.org/articles/v16/s20 Erişim tarihi: 8 Şubat 2023.
  • QuTech. https://qutech.nl/research-engineering/quantum-internet/quantum-internet-milestones/ Erişim tarihi: 8 Şubat 2023
• Lorenzo Leone v.d. “Retrieving information from a black hole using quantum machine learning.” Physical Review A 106.6 (2022): 062434.
• [Shor algoritması ile ilgili bir kaynak.] https://quantum-computing.ibm.com/composer/docs/iqx/guide/shors-algorithm
• [Pek çok kuantum algoritmanın bulunduğı bir sayfa] https://quantumalgorithmzoo.org/ Erişim tarihi: 16 Ocak 2023.
• [Türkiye’de kuantum teknolojileriyle ilgili]
  • https://labs.ozyegin.edu.tr/qoptics/arastirma/ Erişim tarihi: 10 Şubat 2023
  • https://www.etu.edu.tr/tr/haber/kuantum-radar-projesi-imzalari-atildi Erişim tarihi: 10 Şubat 2023
  • https://labs.ozyegin.edu.tr/qoptics/files/2019/10/Quantum-Radar-Poster.pdf Erişim tarihi: 10 Şubat 2023
  • QTurkey https://qturkey.org/ Erişim tarihi: 10 Şubat 2023
• Wolfram Research, Inc., Mathematica, Version 13.1, Champaign, IL (2022).